Kompleks Sayılar

bilgilendim

Administrator
Yönetici
Katılım
9 Nisan 2016
Mesajlar
376
Beğeniler
11
Puanları
18
#1

KOMPLEKS SAYILAR

SANAL BİRİM

-1 sayısının kareköküne, sanal birim veya sanal sayı birimi denir ve i ile gösterilir.

KOMPLEKS SAYI

a ve b reel sayılar olmak üzere, z = a+bi şeklindeki sayıya kompleks sayı, karmaşık sayı veya sanal sayı adı verilir.

z = a+bi şeklindeki bir kompleks sayıda, a'ya reel kısım, b'ye ise sanal kısım veya imajiner kısım adı verilir.

Kompleks sayılar kümesi aşağıdaki gibi ifade edilebilir:



KOMPLEKS DÜZLEM

Kompleks düzlem, reel eksen ve sanal eksen (imajiner eksen) denilen iki eksenle ifade edilir. z = a+bi şeklindeki bir kompleks sayının kompleks düzlemde gösteriminde, a reel eksende, b ise sanal eksende gösterilir.



Dolayısıyla; iki kompleks sayının birbirlerine eşit olması, yalnızca, reel ve sanal kısımlarının birbirlerine eşit olmasıyla mümkündür.

EŞLENİK

Bir kompleks sayının eşleniği, o sayının sanal kısmının ters işaretlisini alarak elde edilir. z = x+yi kompleks sayısının eşleniği,



şeklinde gösterilir.

KOMPLEKS SAYILARIN MUTLAK DEĞERİ

Bir kompleks sayının mutlak değeri, kompleks düzlemde sayı ile orjin arasındaki uzaklıktır. z = x+yi kompleks sayısının mutlak değeri,



eşitliği ile bulunur.

KOMPLEKS SAYILARDA TOPLAMA

İki komleks sayının toplamı, reel kısımları ile sanal kısımlarını ayrı ayrı toplayarak elde edilir.

z = a+bi ve w = c+di kompleks sayıları, aşağıdaki gibi toplanır:



KOMPLEKS SAYILARDA ÇIKARMA

İki komleks sayının farkı, reel kısımları ile sanal kısımlarının farkını alarak elde edilir.

z = a+bi ve w = c+di kompleks sayıları, aşağıdaki gibi çıkarılır:



KOMPLEKS SAYILARDA ÇARPMA

z = a+bi ve w = c+di kompleks sayıları, aşağıdaki gibi çarpılır:



KOMPLEKS SAYILARDA BÖLME

z = a+bi ve w = c+di kompleks sayılarında, bölme işlemi aşağıdaki gibi yapılır:



KOMPLEKS SAYILARIN KUTUPSAL FORMU

ARGÜMENT

θ; z kompleks sayısının, kompleks düzlemde, reel eksen ile, z'den orjine giden doğru parçasının arasındaki açı olsun. z'nin argümendi θ açısının 2π periyotlarından oluşur. Yani her k tamsayısı için z'nin argümendi;



olarak tanımlanır.

ESAS ARGÜMENT

Yukarıda tanımlanan θ açısına esas argüment denir ve Arg(z) ile gösterilir.

KUTUPSAL KOORDİNATLAR

Her z = x+yi kompleks sayısı için,





şeklinde alınarak elde edilen (r,θ) ikilisine, o kompleks sayının kutupsal koordinatları veya polar koordinatları denir. Burada r, z'nin, mutlak değeri, θ ise, esas argümendidir.



yazılışına ise z komleks sayısının kutupsal formu veya trigonometrik formu denir.

KUTUPSAL FORMDA ÇARPMA İŞLEMİ

z1 ve z2 kompleks sayılarının çarpımının sonucu w kompleks sayısı olsun. Bu durumda w sayısının, mutlak değeri, z1 ve z2 sayılarının mutlak değerlerinin çarpımına; esas argümendi ise z1 ve z2 sayılarının esas argümentlerinin toplamına eşittir. z1 = r1(cosθ1 + i.sinθ1) ve z2 = r2(cosθ2 + i.sinθ2) olsun. Bu durumda w = z1.z2, yani;



olur.

KUTUPSAL FORMDA BÖLME İŞLEMİ

z1 kompleks sayısının z2 kompleks sayısına bölümünün sonucu w kompleks sayısı olsun. Bu durumda w sayısının, mutlak değeri, z1 sayısının mutlak değerinin z2 sayısının mutlak değerine bölümü sonucunda; esas argümendi ise, z1 sayısının esas argümendinden z2 sayısının esas argümendinin çıkarılması sonucu elde edilir. z1 = r1(cosθ1 + i.sinθ1) ve z2 = r2(cosθ2 + i.sinθ2) olsun. Bu durumda w = z1/z2, yani;



olur.

KOMPLEKS SAYILARIN KUVVETİ

n bir doğal sayı, z = r(cosθ + i.sinθ) ise sıfırdan farklı bir kompleks sayı olsun. Bu durumda z sayısının n'ninci kuvveti;



formülü ile bulunur.



formülüne De Moivre formülü adı verilir.

Kompleks sayıların kuvvetlerinin değişimini dinamik olarak gözlemlemek için bu animasyona bakabilirsiniz.

KOMPLEKS SAYILARIN KÖKLERİ

n bir sayma sayısı olmak üzere, z = r(cosθ + i.sinθ) kompleks sayısının n'ninci kökleri, n'den küçük her k doğal sayısı için,



eşitliğininin aldığı farklı değerlerdir.

Kompleks sayılarda çarpma, bölme, kuvvet ve kök bulma işlemlerinin geometrik bir canlandırması için bu animasyona bakabilirsiniz.

Alıntıdır. http://www.e-ders.org/konu_anlatimlari/kompleks_sayilar/kompleks-sayilar-konu-anlatimi